Waanzinnige uitkomst Champions League loting

De loting voor de wedstrijden voor de Champions League op donderdag 20 december 2012 in Zwitserland leverde een waanzinnige uitkomt op, namelijk precies dezelfde wedstrijden als in de oefentrekking de dag ervoor, inclusief de kraker AC Milan vs FC Barcelona.

Galatasaray(TUR) Schalke(GER)
Celtic(SCO) Juventus(ITA)
Arsenal(ENG) Bayern(GER)
Shakhtar Donetsk(UKR) Dortmund(GER)
Milan(ITA) Barcelona(ESP)
Real Madrid(ESP) Man. United(ENG)
Valencia(ESP) PSG(FRA)
Porto(POR) Málaga(ESP)

Hoe groot is de kans dat de loting van 8 wedstrijden met 16 ploegen precies dezelfde uitkomst oplevert als een gegeven, specifieke uitkomst?

Volgens mij is die kans in principe 1 op 2 miljoen, zij het dat er bij de Champions League bepaalde restricties worden opgelegd waardoor de kans inkrimpt. Hierover zo dadelijk meer.

Het probleem is te beschrijven als een herhaaldelijke trekking zonder teruglegging. Het aantal mogelijkheden is dan te berekenen als een vermenigvuldiging van uitkomsten van de hypergeometrische verdeling.

Het aantal manieren waarop 2 ploegen uit 16 ploegen kunnen worden getrokken is ‘16 boven 2’. Dit is gelijk aan 16! gedeeld door het product van 14! en 2!. Aangezien 14! wegvalt, is het resultaat 16 maal 15 gedeeld door 2. Vervolgens zijn er 2 ploegen te trekken uit 14 resterende ploegen. Wederom te bepalen aan de hand van de hypergeometrische verdeling en de uitkomst is onafhankelijk van de eerste uitkomst, dus het totaal aantal uitkomsten wordt vermenigvuldigd (zie de vermenigvuldigingen in de teller van (1)). Het hele resultaat moet nog gedeeld worden door 8! omdat de volgorde waarmee de wedstrijden uit de bus komt niet uitmaakt (de volgorde in de definitieve loting was ook anders dan die van de oefentrekking; zie de noemer in (1)).

tabel2

De formule is te vereenvoudigen, er valt een 8! weg (zie de stap van (4) naar (5)), en het resultaat is uiteindelijk ruim 2 miljoen.

Directe benadering

We kunnen ook direct naar (5) gaan. Stel je onderstaand schema voor.

Wedstrijd Ploeg Ploeg
1 1a 1b
2 2a 2b
3 3a 3b
4 4a 4b
5 5a 5b
6 6a 6b
7 7a 7b
8 8a 8b

Voor wedstrijd 1 vullen we een willekeurige ploeg in voor de plek 1a. Deze ploeg kan vervolgens aan 15 andere ploegen worden gekoppeld. Er zijn nog 14 ploegen over. Wederom vullen we een random ploeg in voor plek 2a en deze ploeg kan vervolgens worden gekoppeld aan 13 overgebleven partijen. Het schema als geheel kunnen we dan op 15 maal 13 maal … maal 1 manieren invullen. We hoeven niet te corrigeren voor de volgorde waarin we het schema hebben ingevuld (dus geen deling door 8!), want we zijn voor de ‘a’ plekken steeds uitgegaan van een willekeurige ploeg, waarmee er geen volgorde-effect is.

Een andere manier om stap (5) inzichtelijk te maken is door uit te gaan van een veel kleinere trekking. Stel dat we maar 4 ploegen hebben (en 2 wedstrijden), bijvoorbeeld Galatasaray, Schalke, Celtic en Juventus. Het aantal mogelijke schema’s is dan 3 maal 1, dus gelijk aan 3 (wedstrijd 1: Galatasaray tegen Schalke of Celtic of Juventus; wedstrijd 2 ligt vast nadat wedstrijd 1 vastligt).

Restricties

Doordat er bepaalde restricties gelden is het daadwerkelijk aantal mogelijkheden geringer.

De volgende restricties zijn van toepassing:

a)      Clubs from the same association cannot be drawn against each other.

b)      The winners and runners-up from the same group (in the previous round) cannot be drawn against each other.

c)      The group winners cannot be drawn against each other.

Deze restricties zijn te vinden in artikel 7.09 in de Regulations of the UEFA Champions League 2011/2012.

De restricties beperken het aantal mogelijkheden fors. Alleen al restrictie (c) beperkt het aantal mogelijkheden tot maximaal 8! = 40.320. (Voor winnaar 1 zijn er 8 runners-up, voor winnaar 2 nog 7, voor winnaar 3 nog 6, etc.)

Over de kansen voor en na toepassing van de restricties wordt gezegd:

The (…) conditions slash the odds of a perfect match from the millions down to 5,000-1, according to The Sun, and 1,679-1 according to bookmaker William Hill.

Engelse bookies schatten de kans in op 1 op 5.000, volgens de Engelse krant The Sun. Kennelijk is ook de schatting 1 op 1679 afgegeven en De Telegraaf komt met een nog lagere kans van 1 op 840. Van al deze getallen heb ik geen onderbouwing gezien.

De complexiteit van de berekening met restricties is dat deze niet meer eenvoudigweg uitvermenigvuldigt. Bij een sequentiële trekking zijn de mogelijke tegenspelers afhankelijk van eerdere uitkomsten. Ook kan een trekking niet goed uitkomen, doordat op het laatst bijvoorbeeld twee Spaanse ploegen overblijven.

Uiteenlopende meningen

Zonder restricties toont bovenstaande berekening aan dat de kans gelijk is aan 1 op ruim 2 miljoen (2.027.025 om precies te zijn) in plaats van het vage ‘the millions’. Ten aanzien van de kans na toepassing van de restricties lopen de meningen dus uiteen. De meningen lopen ook uiteen ten aanzien van de vraag of hier sprake is van bizar toeval of iets anders.

Advertenties

Over Folpmers
Financial Risk Management consultant, manager van een FRM consulting department, bijzonder hoogleraar FRM

One Response to Waanzinnige uitkomst Champions League loting

  1. Pingback: Waanzinninge uitkomst Champions League loting (2): de uitkomst « Folpmers

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit / Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit / Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit / Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit / Bijwerken )

Verbinden met %s